换元法详细讲解

换元法详细讲解是关于高中学习 - 高中数学 - 数学典例讲解方面的资料, 解高中数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α ，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝ ＋t，y＝ －t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。
Ⅰ、换元法题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x ＋1)＝log (4－x )  （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ·a ＝a －a ，则数列通项a ＝___________。
4.设实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程 ＝3的解是_______________。
6.不等式log (2 －1) ·log (2 －2)〈2的解集是_______________。
【换元法简解】
1小题的换元法思路：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝ ＋t－ ，对称轴t＝－1，当t＝ ，y ＝ ＋ ；
2小题的换元法思路：设x ＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1) ＋4]，所以值域为(－∞,log 4]；
3小题的换元法思路：已知变形为 － ＝－1,设b ＝ ，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；
4小题的换元法思路：设x＋y＝k，则x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题的换元法思路：设3 ＝y，则3y ＋2y－1＝0,解得y＝ ，所以x＝－1；
6小题的换元法思路：设log (2 －1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2<y<1，所以x∈(log ,log 3)。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。

附带换元法思路练习题两道：
1.已知f(x )＝lgx  (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2        B.  lg2     C.  lg2    D.  lg4
2.函数y＝(x＋1) ＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞)    B.  [-1,+∞)    D. (-∞,+∞)   C. (-∞,-1]


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