换元法例题

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换元法例题1. 实数x、y满足4x －5xy＋4y ＝5   （ ①式） ，设S＝x ＋y ，求 ＋ 的值。（93年全国高中数学联赛题）
【换元法例题思路分析】 由S＝x ＋y 联想到cos α＋sin α＝1,于是进行三角换元，设 代入①式求S 和S 的值。
【换元法思路的解】设 代入①式得：  4S－5S·sinαcosα＝5 
解得 S＝  ；
∵ -1≤sin2α≤1  ∴  3≤8－5sin2α≤13   ∴ ≤ ≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝ 的有界性而求，即解不等式：| |≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【换元法例题的另解】 由S＝x ＋y ，设x ＝ ＋t，y ＝ －t，t∈[－ ， ]，
则xy＝± 代入①式得：4S±5 =5， 
移项平方整理得  100t +39S －160S＋100＝0 。
∴  39S －160S＋100≤0  解得： ≤S≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
【解答换元法例题的要点】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x ＋y 与三角公式cos α＋sin α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值换元的思路，设x ＝ ＋t、y ＝ －t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a ＋13b ＝5  ，求得a ∈[0, ]，所以S＝(a－b) ＋(a＋b) ＝2(a ＋b )＝ ＋ a ∈[ , ]，再求 ＋ 的值。

换元法例题2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B， ＋ ＝－ ，求cos 的值。（96年全国理）
【换元法思路分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设  ，再代入可求cosα即cos 。
【换元法思路的解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,
由A＋C＝120°，设 ，代入已知等式得：
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－2 ,
解得：cosα＝ ，    即：cos ＝ 。
【换元法思路的另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－
＝－2 ，设 ＝－ ＋m， ＝－ －m ，
所以cosA＝ ，cosC＝ ，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2cos cos ＝cos ＝ ，
cosA－cosC＝－2sin sin ＝－ sin ＝ ，
即：sin ＝－ ，＝－ ，代入sin ＋cos ＝1整理得：3m －16m－12＝0,解出m ＝6，代入cos ＝ ＝ 。
【换元法例题的核心】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“ ＋ ＝－2 ”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－ ＝－2 ，即cosA＋cosC＝－2 cosAcosC，和积互化得：
2cos cos ＝－ [cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos ＝ － cos(A-C)＝ － (2cos －1)，整理得：4 cos ＋2cos －3 ＝0,
解得：cos ＝
换元法例题3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 的最大值和最小值。
【换元法思路的解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[- , ]，由(sinx＋cosx) ＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝
∴  f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋  （a>0），t∈[- , ]
t＝- 时，取最小值：－2a －2 a－
当2a≥ 时，t＝ ，取最大值：－2a ＋2 a－   ；
当0<2a≤ 时，t＝2a，取最大值：   。   
∴  f(x)的最小值为－2a －2 a－ ，最大值为 。
【换元法例题重点】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[- , ]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
换元法思路例4. 设对所于有实数x，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）
【换元法例题思路分析】不等式中log 、 log 、log 三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【换元法例题的解】 设log ＝t，则log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t，log ＝2log ＝－2t，
代入后原不等式简化为（3－t）x ＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
，解得    ∴ t<0即log <0
0< <1，解得0<a<1。
【换元法例题总结】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log 、 log 、log 三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
换元法思路例5. 已知 ＝ ，且 ＋ ＝   (②式)，求 的值。
【换元法例题的解】 设 ＝ ＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin θ＋cos θ＝k (x +y )＝1,代入②式得：  ＋ ＝ ＝     即： ＋ ＝
设 ＝t，则t＋ ＝  ,   解得：t＝3或      ∴ ＝± 或±
【换元法例题的另解】 由 ＝ ＝tgθ，将等式②两边同时除以 ，再表示成含tgθ的式子：1＋tg θ＝ ＝ tg θ，设tg θ＝t，则3t —10t＋3＝0，
∴t＝3或 ，    解得 ＝± 或± 。
【换元法例题思路的总结】 第一种解法由 ＝ 而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为 ＝ ，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
换元法思路例6. 实数x、y满足 ＋ ＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
【换元法例题的分析】由已知条件 ＋ ＝1，可以发现它与a ＋b ＝1有相似之处，于是实施三角换元。
【换元法例题的解】由 ＋ ＝1，设 ＝cosθ， ＝sinθ，
即：   代入不等式x＋y－k>0得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
 所以k<-5时不等式恒成立。
【换元法例题的总结】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。


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