关于抛物线焦点弦性质问题

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例1 斜率为1的直线经过抛物线y²=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
解1  如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1.
由题可知，直线AB的方程为y=x—1，代入抛物线方程y²=4x，整理得：x²—6x+1=0
解上述方程得x₁=3+2 ,x₂=3—2 ，分别代入直线方程得y₁=2+2 ,y₂=2—2
即A、B的坐标分别为（3+2 ，2+2 ），（3—2 ，2—2 ）
∴|AB|=
解2  设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=6,x₁·x₂=1
∴|AB|= |x₁—x₂|
解3  设A（x₁,y₁)、B(x₂,y₂),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|
即|AF|=|AA′|=x₁+1；同理|BF|=|BB′|=x₂+1 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=8
评析： 解2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视．
备选题
例2在抛物线 上求一点，使这点到直线 的距离最短。
解：设点 ，距离为 ， ， 
当 时， 取得最小值，此时 为所求的点。
评析，此问题可以设点 ,利用抛物线标点法求解；也可以设 与 相切，求出切点的坐标
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