数学归纳法的几个趣味数学题

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作者：学夫子

数学归纳法是我们常用的数学证明方法。利用它不仅可以拿来证明命题，有时候还可以用来求解命题，但是一旦运用不当，便会得出非常荒唐的结论，而这种错误往往隐藏得比较隐秘，不容易发现，比如“用数学归纳法证明2n=1"一文里提及的内容，相对于那些到处可见的”证明5=6“啊啥的，这种”错误“对于我们或许更有意义，比如今天介绍给大家的两个趣味问题，也是根据数学归纳法得出的，你能发现这中的错误吗?当然，我们必须要了解”广义上的数学归纳法“。

问题1：用数学归纳法证明”任意n个人，他们一定全部在同一天出生“，证明方法如下：

证明：当n=1时，命题成立

假设当n=k时，命题成立，那么当n=k+1时

对于1~k+1这几个人，由假设知道，1~k这k个人是在同一天出生，2~k+1这k个人也是同一天出生，所以最终，1~k+1这k+1个人都是同一天出生，命题得到证明。

与之完全相同的问题便是下面一个：

问题2：用数学归纳法证明”任意n条直线，他们一定全部相交于一点“，证明方法如下：

证明：当n=2时，命题成立

假设当n=k时，命题成立，那么当n=k+1时

根据假设。1~k这k条直线相交于一点，2~k+1这k条直线也相交于一点，从而1~k+1这k+1条直线也相交于一点，命题得证。

证明显然是错的，这个不容置疑，那么，他到底错在哪里?问题就在于，证明方法是基于”1~k这k个人是在同一天出生，2~k+1这k个人也是同一天出生“这两个命题的交集而来的，所以这里的k必然是大于1的，因为如果k=1的话，那根本就不会有2号人存在，也就是说，这个证明的前提是k大于1，但是我们给出的基础命题是”k=1“时成立，这就没有了往后推论的基础。除非你能证明”任意两个人，命题成立“，但是这明显无法证明。

这种”基础不够“的错误在数学归纳法里经常存在，出现这种问题的原因，除了命题人的故意为之，还有就是当我们对所征命题的准确性确信无疑的时候，就会错误滴认为，只要我能得到正确的结论，那我的证明就一定正确。因为他认为，错误的方法一定不可能得到正确的结果，而往往错误的方法也能得到正确地结果，不是因为”巧合“，而是因为你自己故意想他能得到正确的结论，所以你搭了很多桥梁。

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