2017小升初数学数论综合练习题

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设a与b是两个不相等的非零自然数。

(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?

(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?

【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72.不妨设a>b.

第一种情况:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73;

第二种情况:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值;

第三种情况：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值;

第四种情况：当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值;

第五种情况：当a=12时，b无解;

第六种情况:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值。

总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值。

(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60.a、b为60的约数，不妨设a>b.

第一种情况：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a-b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30;

第二种情况：当a=30时，b可取4，12，20，于是a-b可取26，18，10;

第三种情况：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a-b可取17，14，8，5;

第四种情况当a=15时，b可取4，12，所以a-b可取11，3;

第五种情况: 当a=12时，b可取5，10，所以a-b可取7，2.

总之，a-b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值。

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