阅读二次函数与一元二次方程根的分布综合

阅读二次函数与一元二次方程根的分布综合是关于高中学习 - 高中数学 - 高一数学方面的资料,

阅读二次函数与一元二次方程根的分布综合

(1) 预习题

1. 设有一元二次函数y=2x2-8x+1.试问，

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小?

由此y=f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么?

解：经配方有y=2(x-2)2-7

∵对称轴x=2，区间[3，4]在对称轴右边，

∴y=f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此

ymax=f(4)=1.

ymin=f(3)=-5.

2.设有一元二次函数y=2x2-4ax+2a2+3.试问，此函数对称轴是什么?

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小?与a取值有何关系?

由此，求y=f(x)在[3，4]上的最大值与最小值.

解：经配方有y=2(x-a)2+3.

对称轴为x=a.

当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大.

当3

当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小.

根据上述分析，可知.

当a≤3时，ymax=f(4)=2a2-16a+35.ymin=f(3)=2a2-12a+21.

当3

其中，a≤3.5时，ymax=f(4)=2a2-16a+35.

a≥3.5时，ymax=f(3)=2a2-12a+21.

当a≥4时，ymax=f(3)=2a2-12a+21.ymin=f(4)=2a2-16a+35.

(2) 基础题

例1.设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)=0.试问：

(1)m为何值时，有一正根、一负根.

(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1.

(3)m为何值时，有两正根.

(4)m为何值时，有两负根.

(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内?

解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2<0，依违达定理有m+2<0.

∴　 m<-2.

反思回顾：x1、x2<0条件下，ac<0，因此能保证△>0.

(2)设x1<1，x2>1，则x1-1<0，x2-1>0只要求(x1-1)(x2-1)<0，即x1x2-(x1+x2)+1<0.

依韦达定理有

(m+2)+2(m-1)+1<0.

(3)若x1>0，x2>0，则x1+x2>0且x1，x2>0,故应满足条件

依韦达定理有

(5)由图象不难知道，方程f(x)=0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)<0，即

[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]<0.

∴(7m+1)(9m+10)<0.

例2. 当m为何值时，方程 有两个负数根?

解：负数根首先是实数根，∴ ，

由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正.

由以上分析，有

即

∴当 时，原方程有两个负数根.

(3) 应用题

例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两个实根都大于2?

解：设f(x)=x2+(m-2)x+5-m，如图原方程两个实根都大于2

所以当-5

例2.已知关于x方程：x2-2ax+a=0有两个实根α，β，且满足0<α<1，β>2，求实根a的取值范围.

解：设f(x)=x2-2ax+a，则方程f(x)=0的两个根α，β就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标，如图0<α<1，β>2的条件是：

<1，β>2.

例3.m为何实数时，关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.

解：设f(x)=x2+(m-2)x+5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f(2)<0，即4+2(m-2)+5-m<0.解得m<-5.所以当m<-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2.

(4) 提高题

例1.已知函数 的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围.

解：(1)当 ，则所给函数为二次函数，图象满足：

，即

解得：

(2)当 时，

若 ，则 的图象不可能都在x轴上方，∴

若 ，则y=3的图象都在x轴上方

由(1)(2)得：

反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论.

例2.已知关于x的方程(m-1)x2-2mx+m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0<α<1<β，求实数m的取值范围.

解：设f(x)=x2-2mx+m2+m-6，则方程f(x)=0的两个根α，β，就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标.

如图，0<α<1<β的条件是

解得

例3.已知关于x的方程3x2-5x+a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈(-2，0)，β∈(1，3)，求实数a的取值范围.

解：设f(x)=3x2-5x+a，由图象特征可知方程f(x)=0的两根α，β，并且α∈(-2，0)，β∈(1，3)的

解得-12

四、课后演武场

1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是( B )

A. 　　　B. 　　　C. 　　D.

2.方程 x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是( C )

A.0

3.已知方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( C )

A. 　　　　　　　　　　B.

C. 　　　　　D.

4.已知关于x的方程3x2+(m-5)x+7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围.

可知方程f(x)=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f(4)<0)

5.已知关于x的方程x2+2mx+2m+3=0的两个不等实根都在区间(0，2)内，求实数m的取值范围.

征可知方程f(x)=0的两根都在(0，2)内的充要条件是

编辑推荐：

2013年全国各地高考真题

2013年高考已经开始，www.45sw.com高中频道第一时间发布了2013年全国各地高考真题......进入《2013年全国各地高考真题》专题

[1] [2]  下一页

觉得阅读二次函数与一元二次方程根的分布综合这篇文章不错，记得收藏哦。