高中数学求解函数解析式难点突破

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求解函数解析式是高中数学常考的知识点，也是高中生最难掌握的饿知识点之一，同时还是高考重点考查内容之一，所以，掌握求解函数解析式尤为重要。爱学啦总结了一些求解函数解析式难点重点和一些常用的解题方法，希望能帮助广大高中生提升自己的高中数学成绩。总结如下：

●难点磁场

(★★★★)已知f(2-cosx)=cos2x+cosx,求f(x-1).

●案例探究

[例1](1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.

(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求?f(x)?的表达式.

命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.

知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.

错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.

技巧与方法：(1)用换元法;(2)用待定系数法.

解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0

因此f(t)= (at-a-t)

∴f(x)= (ax-a-x)(a>1,x>0;0

(2)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c

得

并且f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于1或-1，所以所求函数为：f(x)=2x2-1或f(x)=-2x2+1或f(x)=-x2-x+1或f(x)=x2-x-1或f(x)=-x2+x+1或f(x)=x2+x-1.

[例2]设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，y=f(x)的图象是经过点(-2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(-1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.

命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目. 知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.

错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.

技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.

解：(1)当x≤-1时，设f(x)=x+b

∵射线过点(-2，0).∴0=-2+b即b=2，∴f(x)=x+2.

(2)当-1

∵抛物线过点(-1，1)，∴1=a·(-1)2+2,即a=-1

∴f(x)=-x2+2.

(3)当x≥1时，f(x)=-x+2

综上可知：f(x)= 作图由读者来完成.

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决方法主要有：

1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法;

2.换元法或配凑法，已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法;

3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)若函数f(x)= (x≠ )在定义域内恒有f[f(x)]=x,则m等于( )

A.3 B. C.- D.-3

2.(★★★★★)设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2-1,则x>1时f(x)等于( )

A.f(x)=(x+3)2-1 B.f(x)=(x-3)2-1

C.f(x)=(x-3)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1

二、填空题

3.(★★★★★)已知f(x)+2f( )=3x,求f(x)的解析式为_________.

4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________.

三、解答题

5.(★★★★)设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为 ，求f(x)的解析式.

6.(★★★★)设f(x)是在(-∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间[2，3]上时，f(x)=-2(x-3)2+4，求当x∈[1,2]时f(x)的解析式.若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.

7.(★★★★★)动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.

8.(★★★★★)已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为-5.

(1)证明：f(1)+f(4)=0;

(2)试求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;

(3)试求y=f(x)在[4，9]上的解析式.

参考答案

难点磁场

解法一：(换元法)

∵f(2-cosx)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1

令u=2-cosx(1≤u≤3),则cosx=2-u

∴f(2-cosx)=f(u)=2(2-u)2-(2-u)-1=2u2-7u+5(1≤u≤3)

∴f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+4(2≤x≤4)

解法二：(配凑法)

f(2-cosx)=2cos2x-cosx-1=2(2-cosx)2-7(2-cosx)+5

∴f(x)=2x2-7x-5(1≤x≤3),即f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+14(2≤x≤4).

歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(x)= .

∴f[f(x)]= =x,整理比较系数得m=3.

答案：A

2.解析：利用数形结合，x≤1时，f(x)=(x+1)2-1的对称轴为x=-1,最小值为-1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为-1.

答案：B

二、3.解析：由f(x)+2f( )=3x知f( )+2f(x)=3 .由上面两式联立消去f( )可得f(x)= -x.

答案：f(x)= -x

4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,

∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b)x+a+b=bx+x+1.

故2a+b=b+1且a+b=1,解得a= ,b= ,∴f(x)= x2+ x.

答案： x2+ x

三、5.解：利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)= .

6.解：(1)设x∈[1,2],则4-x∈[2,3],∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x),又因为4是f(x)的周期，∴f(x)=f(-x)=f(4-x)=-2(x-1)2+4.

(2)设x∈[0，1]，则2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=-2(x-1)2+4,又由(1)可知x∈[0,2]时，f(x)=-2(x-1)2+4,设A、B坐标分别为(1-t,0),(1+t,0)(0

7.解：(1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由Rt△ABD?可得PA= ;当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA= ;当P点在DA上运动时，PA=4-x,故f(x)的表达式为：

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